Project Euler Problem 21 - 25

	#lang racket
	(require srfi/1
	(except-in srfi/13
	string-hash)
	srfi/41
	(except-in srfi/69
	string-hash)
	(except-in math/number-theory
	permutations))
	;;;d(n) を n の真の約数の和と定義する. (真の約数とは n 以外の約数のことである. )
	;;;もし, d(a) = b かつ d(b) = a (a ≠ b のとき) を満たすとき,
	;;;a と b は友愛数(親和数)であるという.
	;;;
	;;;例えば, 220 の約数は 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 なので d(220) = 284 である.
	;;;また, 284 の約数は 1, 2, 4, 71, 142 なので d(284) = 220 である.
	;;;
	;;;それでは10000未満の友愛数の和を求めよ.
	(define (problem21 n)
	(define (d n)
	(fold + 0
	(remove (lambda (x)
	(= n x)) (divisors n))))
	(define (amicable? a)
	(let ((b (d a)))
	(and (not (= a b)) (= a (d b)))))
	(let ((amicable-stream (stream-filter amicable? (stream-from 0))))
	(stream-fold + 0 (stream-take-while (lambda (x) (< x n)) amicable-stream))))
	(problem21 10000)
	;;;5000個以上の名前が書かれている46Kのテキストファイル names.txt を用いる.
	;;;まずアルファベット順にソートせよ.
	;;;
	;;;のち, 各名前についてアルファベットに値を割り振り,
	;;;リスト中の出現順の数と掛け合わせることで, 名前のスコアを計算する.
	;;;
	;;;たとえば, リストがアルファベット順にソートされているとすると,
	;;;COLINはリストの938番目にある.
	;;;またCOLINは 3 + 15 + 12 + 9 + 14 = 53 という値を持つ.
	;;;よってCOLINは 938 × 53 = 49714 というスコアを持つ.
	;;;
	;;;ファイル中の全名前のスコアの合計を求めよ.
	(define (problem22 filename)
	(define (read-file)
	(with-input-from-file filename
	(lambda ()
	(let loop ((ls1 '()) (c (read-char)))
	(if (eof-object? c)
	(sort
	(string-tokenize
	(list->string (reverse (remove (lambda (x)
	(char=? x #\,)) ls1))))
	string<?)
	(loop (if (char=? c #\")
	(cons #\space ls1)
	(cons c ls1)) (read-char)))))))
	(define (alphabetical-value ls)
	(define (proc str)
	(apply +
	(map (lambda (x)
	(- (char->integer x) (char->integer #\@)))
	(string->list str))))
	(list->vector (map proc ls)))
	(define (calc-score vec)
	(let ((l (vector-length vec)))
	(let loop ((k 0) (acc 0))
	(if (= k l)
	acc
	(loop (+ k 1) (+ (* (vector-ref vec k) (+ k 1)) acc))))))
	(calc-score (alphabetical-value (read-file))))
	(problem22 "names.txt")
	;;;完全数とは, その数の真の約数の和がそれ自身と一致する数のことである.
	;;;たとえば, 28の真の約数の和は, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 であるので, 28 は完全数である.
	;;;
	;;;真の約数の和がその数よりも少ないものを不足数といい,
	;;;真の約数の和がその数よりも大きいものを過剰数と呼ぶ.
	;;;
	;;;12は, 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 となるので, 最小の過剰数である.
	;;;よって2つの過剰数の和で書ける最少の数は24である.
	;;;数学的な解析により, 28123より大きい任意の整数は2つの過剰数の和で書けることが知られている.
	;;;2つの過剰数の和で表せない最大の数がこの上限よりも小さいことは分かっているのだが,
	;;;この上限を減らすことが出来ていない.
	;;;
	;;;2つの過剰数の和で書き表せない正の整数の総和を求めよ.
	(define (problem23 n)
	(let ((integers (stream-from 1)))
	(define (abundant? n)
	(> (apply + (divisors n)) (* 2 n)))
	(let ((abundant-stream
	(stream-filter abundant? integers)))
	(define (make-abundant?-stream strm)
	(stream-cons (abundant? (stream-car strm))
	(make-abundant?-stream (stream-cdr strm))))
	(let ((abundant?-stream (make-abundant?-stream integers))
	(abundant?-table (make-hash-table eqv?))
	(abundant-list '()))
	(define (not-sum-of-two-abundant? n arg)
	(let ((i (if (or (null? abundant-list) (<= (length abundant-list) arg))
	(let ((val (stream-ref abundant-stream arg)))
	(set! abundant-list `(,@abundant-list ,val))
	val)
	(list-ref abundant-list arg))))
	(if (or (<= n i) (> i (/ n 2)))
	#t
	(let ((key (- n i)))
	(let ((val (hash-table-ref/default abundant?-table key '())))
	(let ((val (if (null? val)
	(let ((obj (stream-ref abundant?-stream (- key 1))))
	(hash-table-set! abundant?-table key obj)
	obj)
	val)))
	(if val
	#f
	(not-sum-of-two-abundant? n (+ arg 1)))))))))
	(stream-fold + 0 (stream-filter (lambda (x)
	(not-sum-of-two-abundant? x 0))
	(stream-range 1 (+ n 1))))))))
	(problem23 28123)
	;;;順列とはモノの順番付きの並びのことである.
	;;;たとえば, 3124は数 1, 2, 3, 4 の一つの順列である.
	;;;すべての順列を数の大小でまたは辞書式に並べたものを辞書順と呼ぶ.
	;;;0と1と2の順列を辞書順に並べると
	;;;
	;;;012 021 102 120 201 210
	;;;
	;;;になる.
	;;;
	;;;0,1,2,3,4,5,6,7,8,9からなる順列を辞書式に並べたときの100万番目はいくつか?
	(define (problem24 str n)
	(define (surplus)
	(let loop ((n (- n 1)) (count (string-length str)) (k 1) (acc '()))
	(if (zero? count)
	acc
	(loop (quotient n k) (- count 1) (+ k 1)
	(cons (modulo n k) acc)))))
	(define (order ls)
	(let loop ((ls0 ls) (ls1 (string->list str)) (acc '()))
	(if (null? ls0)
	(list->string (reverse acc))
	(let ((i (car ls0)))
	(let-values (((ls-a ls-b) (split-at ls1 i)))
	(loop (cdr ls0)
	(append ls-a (cdr ls-b))
	(cons (car ls-b) acc)))))))
	(order (surplus)))
	(problem24 "0123456789" 1000000)
	;;;フィボナッチ数列は以下の漸化式で定義される:
	;;;Fn = Fn-1 + Fn-2, ただし F1 = 1, F2 = 1.
	;;;
	;;;最初の12項は以下である.
	;;;
	;;; F1 = 1
	;;; F2 = 1
	;;; F3 = 2
	;;; F4 = 3
	;;; F5 = 5
	;;; F6 = 8
	;;; F7 = 13
	;;; F8 = 21
	;;; F9 = 34
	;;; F10 = 55
	;;; F11 = 89
	;;; F12 = 144
	;;;
	;;;12番目の項, F12が3桁になる最初の項である.
	;;;
	;;;1000桁になる最初の項の番号を答えよ.
	(define (problem25 n)
	(define fib
	(stream-cons 1
	(stream-cons 1
	(stream-map + fib
	(stream-cdr fib)))))
	(+ 1
	(stream-length (stream-take-while (lambda (x)
	(< (string-length
	(number->string x))
	n)) fib))))
	(problem25 1000)

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えす式

Project Euler Problem 16 - 20

	#lang racket
	(require srfi/1
	(except-in srfi/13
	string-hash)
	(except-in srfi/69
	string-hash)
	srfi/19
	srfi/41
	math/number-theory)
	;;;2^15 = 32768 であり, これの数字和 ( 各桁の和 ) は 3 + 2 + 7 + 6 + 8 = 26 となる.
	;;;
	;;;同様にして, 21000 の数字和を求めよ.
	(define (problem16 n)
	(fold + 0
	(map (lambda (x)
	(apply - (map char->integer `(,x #\0))))
	(string->list (number->string (expt 2 n))))))
	(problem16 1000)
	;;;1 から 5 までの数字を英単語で書けば one, two, three, four, five であり,
	;;;全部で 3 + 3 + 5 + 4 + 4 = 19 の文字が使われている.
	;;;
	;;;では 1 から 1000 (one thousand) までの数字をすべて英単語で書けば, 全部で何文字になるか.
	;;;
	;;;注: 空白文字やハイフンを数えないこと.
	;;;例えば, 342 (three hundred and forty-two) は 23 文字,
	;;;115 (one hundred and fifteen) は20文字と数える. なお, "and" を使用するのは英国の慣習.
	(define (problem17 n)
	(let ((to-19 #("zero" "one" "two" "three" "four" "five" "six"
	"seven" "eight" "nine" "ten" "eleven" "twelve" "thirteen"
	"fourteen" "fifteen" "sixteen" "seventeen" "eighteen" "nineteen"))
	(tens #(""
	""
	"twenty" "thirty" "forty" "fifty" "sixty" "seventy" "eighty" "ninety"))
	(denoms (alist->hash-table
	'((3 . "thousand")
	(6 . "million")
	(9 . "billion")
	(12 . "trillion")
	(15 . "quadrillion")
	(18 . "quintillion")
	(21 . "sextillion")
	(24 . "septillion")
	(27 . "octillion")
	(30 . "nonillion")
	(33 . "decillion")
	(36 . "undecillion")
	(39 . "duodecillion")
	(42 . "tredecillion")
	(45 . "quattuordecillion")
	(48 . "quindecillion")
	(51 . "sexdecillion")
	(54 . "septendecillion")
	(57 . "octodecillion")
	(60 . "novemdecillion")
	(63 . "vigintillion"))
	eqv?)))
	(define (convert-nn val)
	(if (< val 20)
	(vector-ref to-19 val)
	(let ((dcap (vector-ref tens (quotient val 10)))
	(dval (modulo val 10)))
	(if (zero? dval)
	dcap
	(string-append dcap "-" (vector-ref to-19 dval))))))
	(define (convert-nnn val . arg)
	(let ((rem (quotient val 100)) (mod (modulo val 100)))
	(if (zero? rem)
	(convert-nn mod)
	(string-append (vector-ref to-19 rem)
	" hundred"
	(if (zero? mod)
	""
	(string-append (if (null? arg)
	" "
	" and ")
	(convert-nn mod)))))))
	(define (number->english val . arg)
	(cond ((< val (expt 10 3))
	(string-append
	(if (null? arg)
	""
	(car arg))
	(if (< val (expt 10 2))
	(convert-nn val)
	(convert-nnn val 'British))))
	((< val (expt 10 66))
	(let loop ((val val) (v (reverse (hash-table-keys denoms))) (ret ""))
	(if (null? v)
	(if (positive? val)
	(number->english val (string-append ret " "))
	ret)
	(let ((didx (car v)))
	(let ((dval (expt 10 didx)))
	(if (> dval val)
	(loop val (cdr v) ret)
	(let ((l (quotient val dval))
	(r (modulo val dval)))
	(loop r (cdr v) (string-append
	(if (string-null? ret)
	ret
	(string-append ret
	" "))
	(convert-nnn l)
	" "
	(hash-table-ref denoms didx))))))))))
	(else (error "number too large to print in English: " val))))
	(let ((str (map number->english (iota n 1))))
	(for-each (lambda (x)
	(display x)
	(newline)) str)
	(string-length (string-filter (lambda (x)
	(not (or (char=? x #\space) (char=? x #\-))))
	(string-concatenate str))))))
	(problem17 1000)
	;;;以下の三角形の頂点から下まで移動するとき, その数値の和の最大値は23になる.
	;;;3
	;;;7 4
	;;;2 4 6
	;;;8 5 9 3
	;;;
	;;;この例では 3 + 7 + 4 + 9 = 23.
	;;;
	;;;以下の三角形を頂点から下まで移動するとき, その最大の和を求めよ.
	;;;75
	;;;95 64
	;;;17 47 82
	;;;18 35 87 10
	;;;20 04 82 47 65
	;;;19 01 23 75 03 34
	;;;88 02 77 73 07 63 67
	;;;99 65 04 28 06 16 70 92
	;;;41 41 26 56 83 40 80 70 33
	;;;41 48 72 33 47 32 37 16 94 29
	;;;53 71 44 65 25 43 91 52 97 51 14
	;;;70 11 33 28 77 73 17 78 39 68 17 57
	;;;91 71 52 38 17 14 91 43 58 50 27 29 48
	;;;63 66 04 68 89 53 67 30 73 16 69 87 40 31
	;;;04 62 98 27 23 09 70 98 73 93 38 53 60 04 23
	;;;
	;;;注: ここではたかだか 16384 通りのルートしかないので, すべてのパターンを試すこともできる.
	;;;Problem 67 は同じ問題だが100行あるので, 総当りでは解けない. もっと賢い方法が必要である.
	(define (problem18 ls)
	(define (triangle? ls)
	(let ((str (stream-from 1))
	(l (length ls)))
	(let loop ((n 0))
	(let ((sum (apply + (stream->list (stream-take n str)))))
	(cond ((> sum l) #f)
	((< sum l) (loop (+ n 1)))
	(else #t))))))
	(define (make-triangle ls)
	(when (triangle? ls)
	(let loop ((n 1) (ls0 ls) (ls1 '()))
	(if (null? ls0)
	(list->vector (map list->vector (reverse ls1)))
	(let-values (((a b) (split-at ls0 n)))
	(loop (+ n 1) b (cons a ls1)))))))
	(define (aref arr i j)
	(vector-ref (vector-ref arr i) j))
	(define (minimum-solver arr i j)
	(+ (aref arr i j) (max (aref arr (+ i 1) j) (aref arr (+ i 1) (+ j 1)))))
	(define (scan-solver arr i)
	(let ((n (vector-length (vector-ref arr i))))
	(let loop ((m 0) (acc '()))
	(if (= m n)
	(list->vector (reverse acc))
	(loop (+ m 1) (cons (minimum-solver arr i m) acc))))))
	(define (solver arr)
	(let loop ((k (- (vector-length arr) 1)) (arr arr))
	(if (zero? k)
	(aref arr 0 0)
	(let ((obj (scan-solver arr (- k 1)))
	(arr (vector-copy arr 0 k)))
	(vector-set! arr (- k 1) obj)
	(loop (- k 1) arr)))))
	(solver (make-triangle ls)))
	(problem18 '(75
	95 64
	17 47 82
	18 35 87 10
	20 04 82 47 65
	19 01 23 75 03 34
	88 02 77 73 07 63 67
	99 65 04 28 06 16 70 92
	41 41 26 56 83 40 80 70 33
	41 48 72 33 47 32 37 16 94 29
	53 71 44 65 25 43 91 52 97 51 14
	70 11 33 28 77 73 17 78 39 68 17 57
	91 71 52 38 17 14 91 43 58 50 27 29 48
	63 66 04 68 89 53 67 30 73 16 69 87 40 31
	04 62 98 27 23 09 70 98 73 93 38 53 60 04 23))
	;;;次の情報が与えられている.
	;;;
	;;; 1900年1月1日は月曜日である.
	;;; 9月, 4月, 6月, 11月は30日まであり, 2月を除く他の月は31日まである.
	;;; 2月は28日まであるが, うるう年のときは29日である.
	;;; うるう年は西暦が4で割り切れる年に起こる.
	;;; しかし, 西暦が400で割り切れず100で割り切れる年はうるう年でない.
	;;;
	;;;20世紀(1901年1月1日から2000年12月31日)中に月の初めが日曜日になるのは何回あるか?
	(define (problem19)
	(let loop ((year 1901) (month 1) (count 0))
	(if (= year 2001)
	count
	(let ((date (make-date 0 0 0 0 1 month year time-utc)))
	(loop (if (> (+ month 1) 12)
	(+ year 1)
	year)
	(if (> (+ month 1) 12)
	1
	(+ month 1))
	(if (zero? (date-week-day date))
	(+ count 1)
	count))))))
	(problem19)
	;;;n × (n - 1) × ... × 3 × 2 × 1 を n! と表す.
	;;;
	;;;例えば, 10! = 10 × 9 × ... × 3 × 2 × 1 = 3628800 となる.
	;;;この数の各桁の合計は 3 + 6 + 2 + 8 + 8 + 0 + 0 = 27 である.
	;;;
	;;;では, 100! の各位の数字の和を求めよ.
	;;;
	;;;注: Problem 16 も各位の数字の和に関する問題です。解いていない方は解いてみてください。
	(define (problem20 n)
	(fold + 0
	(map (lambda (x)
	(- (char->integer x) (char->integer #\0)))
	(string->list (number->string (factorial n))))))
	(problem20 100)

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Project Euler Problem 11 - 15

	#lang racket
	(require srfi/1 srfi/13 srfi/41 (only-in math/number-theory
	divisors
	factorial))
	;;;上の 20×20 の格子のうち, 斜めに並んだ4つの数字が赤くマークされている.
	;;;08 02 22 97 38 15 00 40 00 75 04 05 07 78 52 12 50 77 91 08
	;;;49 49 99 40 17 81 18 57 60 87 17 40 98 43 69 48 04 56 62 00
	;;;81 49 31 73 55 79 14 29 93 71 40 67 53 88 30 03 49 13 36 65
	;;;52 70 95 23 04 60 11 42 69 24 68 56 01 32 56 71 37 02 36 91
	;;;22 31 16 71 51 67 63 89 41 92 36 54 22 40 40 28 66 33 13 80
	;;;24 47 32 60 99 03 45 02 44 75 33 53 78 36 84 20 35 17 12 50
	;;;32 98 81 28 64 23 67 10 26 38 40 67 59 54 70 66 18 38 64 70
	;;;67 26 20 68 02 62 12 20 95 63 94 39 63 08 40 91 66 49 94 21
	;;;24 55 58 05 66 73 99 26 97 17 78 78 96 83 14 88 34 89 63 72
	;;;21 36 23 09 75 00 76 44 20 45 35 14 00 61 33 97 34 31 33 95
	;;;78 17 53 28 22 75 31 67 15 94 03 80 04 62 16 14 09 53 56 92
	;;;16 39 05 42 96 35 31 47 55 58 88 24 00 17 54 24 36 29 85 57
	;;;86 56 00 48 35 71 89 07 05 44 44 37 44 60 21 58 51 54 17 58
	;;;19 80 81 68 05 94 47 69 28 73 92 13 86 52 17 77 04 89 55 40
	;;;04 52 08 83 97 35 99 16 07 97 57 32 16 26 26 79 33 27 98 66
	;;;88 36 68 87 57 62 20 72 03 46 33 67 46 55 12 32 63 93 53 69
	;;;04 42 16 73 38 25 39 11 24 94 72 18 08 46 29 32 40 62 76 36
	;;;20 69 36 41 72 30 23 88 34 62 99 69 82 67 59 85 74 04 36 16
	;;;20 73 35 29 78 31 90 01 74 31 49 71 48 86 81 16 23 57 05 54
	;;;01 70 54 71 83 51 54 69 16 92 33 48 61 43 52 01 89 19 67 48
	;;;
	;;;それらの数字の積は 26 × 63 × 78 × 14 = 1788696 となる.
	;;;
	;;;上の 20×20 の格子のうち, 上下左右斜めのいずれかの方向で連続する
	;;;4つの数字の積のうち最大のものはいくつか?
	(define (problem11 n)
	(let ((latice
	(vector 08 02 22 97 38 15 00 40 00 75 04 05 07 78 52 12 50 77 91 08
	49 49 99 40 17 81 18 57 60 87 17 40 98 43 69 48 04 56 62 00
	81 49 31 73 55 79 14 29 93 71 40 67 53 88 30 03 49 13 36 65
	52 70 95 23 04 60 11 42 69 24 68 56 01 32 56 71 37 02 36 91
	22 31 16 71 51 67 63 89 41 92 36 54 22 40 40 28 66 33 13 80
	24 47 32 60 99 03 45 02 44 75 33 53 78 36 84 20 35 17 12 50
	32 98 81 28 64 23 67 10 26 38 40 67 59 54 70 66 18 38 64 70
	67 26 20 68 02 62 12 20 95 63 94 39 63 08 40 91 66 49 94 21
	24 55 58 05 66 73 99 26 97 17 78 78 96 83 14 88 34 89 63 72
	21 36 23 09 75 00 76 44 20 45 35 14 00 61 33 97 34 31 33 95
	78 17 53 28 22 75 31 67 15 94 03 80 04 62 16 14 09 53 56 92
	16 39 05 42 96 35 31 47 55 58 88 24 00 17 54 24 36 29 85 57
	86 56 00 48 35 71 89 07 05 44 44 37 44 60 21 58 51 54 17 58
	19 80 81 68 05 94 47 69 28 73 92 13 86 52 17 77 04 89 55 40
	04 52 08 83 97 35 99 16 07 97 57 32 16 26 26 79 33 27 98 66
	88 36 68 87 57 62 20 72 03 46 33 67 46 55 12 32 63 93 53 69
	04 42 16 73 38 25 39 11 24 94 72 18 08 46 29 32 40 62 76 36
	20 69 36 41 72 30 23 88 34 62 99 69 82 67 59 85 74 04 36 16
	20 73 35 29 78 31 90 01 74 31 49 71 48 86 81 16 23 57 05 54
	01 70 54 71 83 51 54 69 16 92 33 48 61 43 52 01 89 19 67 48)))
	(define (rotate v)
	(let ((n (sqrt (vector-length v))))
	(let ((u (vector-copy v)))
	(let loop ((k 0) (i n) (j 0))
	(if (= k (vector-length u))
	u
	(let-values (((i j) (if (zero? (modulo k n))
	(values (- i 1) 0)
	(values i j))))
	(vector-set! u k (vector-ref v (+ i j)))
	(loop (+ k 1) i (+ j n))))))))
	(define (allocate start m n . arg)
	(let loop ((k 0) (acc '()))
	(if (= (length acc) m)
	(reverse acc)
	(loop (+ k 1) (cons (+ start (* n k) (if (null? arg)
	0
	k)) acc)))))
	(define (scan latice . arg)
	(let ((l (vector-length latice)))
	(let ((x (sqrt l)))
	(let loop ((i 0) (k 1) (acc 0))
	(let ((elms (if (null? arg)
	(allocate i n x)
	(allocate i n x (car arg)))))
	(let ((last-elm (last elms)))
	(cond ((> last-elm l) acc)
	((zero? (modulo last-elm x))
	(loop (* k n) (+ k 1) acc))
	(else
	(loop (+ i 1) k (max acc (apply *
	(map (lambda (x)
	(vector-ref latice x))
	elms))))))))))))
	(max (scan latice) (scan latice 'diagonal)
	(scan (rotate latice)) (scan (rotate latice) 'diagonal))))
	(problem11 4)
	;;;三角数の数列は自然数の和で表わされ, 7番目の三角数は
	;;; 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
	;;;である.
	;;;三角数の最初の10項は:
	;;;1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...
	;;;
	;;;となる.
	;;;
	;;;最初の7項について, その約数を列挙すると, 以下のとおり.
	;;;
	;;; 1: 1
	;;; 3: 1,3
	;;; 6: 1,2,3,6
	;;; 10: 1,2,5,10
	;;; 15: 1,3,5,15
	;;; 21: 1,3,7,21
	;;; 28: 1,2,4,7,14,28
	;;;
	;;;これから, 7番目の三角数である28は, 5個より多く約数をもつ最初の三角数であることが分かる.
	;;;
	;;;では, 500個より多く約数をもつ最初の三角数はいくつか.
	(define (problem12 n)
	(let ((triangulars
	(stream-map (lambda (x)
	(/ (* x (+ x 1)) 2)) (stream-from 1))))
	(let ((factors (stream-map divisors triangulars)))
	(let ((str (stream-zip (stream-map (lambda (x)
	(length x)) factors)
	triangulars)))
	(cadr (stream-car (stream-drop-while (lambda (x)
	(< (car x) n)) str)))))))
	(problem12 500)
	;;;以下の50桁の数字100個の和の上位10桁を求めよ.
	;;;37107287533902102798797998220837590246510135740250
	;;;46376937677490009712648124896970078050417018260538
	;;;74324986199524741059474233309513058123726617309629
	;;;91942213363574161572522430563301811072406154908250
	;;;23067588207539346171171980310421047513778063246676
	;;;89261670696623633820136378418383684178734361726757
	;;;28112879812849979408065481931592621691275889832738
	;;;44274228917432520321923589422876796487670272189318
	;;;47451445736001306439091167216856844588711603153276
	;;;70386486105843025439939619828917593665686757934951
	;;;62176457141856560629502157223196586755079324193331
	;;;64906352462741904929101432445813822663347944758178
	;;;92575867718337217661963751590579239728245598838407
	;;;58203565325359399008402633568948830189458628227828
	;;;80181199384826282014278194139940567587151170094390
	;;;35398664372827112653829987240784473053190104293586
	;;;86515506006295864861532075273371959191420517255829
	;;;71693888707715466499115593487603532921714970056938
	;;;54370070576826684624621495650076471787294438377604
	;;;53282654108756828443191190634694037855217779295145
	;;;36123272525000296071075082563815656710885258350721
	;;;45876576172410976447339110607218265236877223636045
	;;;17423706905851860660448207621209813287860733969412
	;;;81142660418086830619328460811191061556940512689692
	;;;51934325451728388641918047049293215058642563049483
	;;;62467221648435076201727918039944693004732956340691
	;;;15732444386908125794514089057706229429197107928209
	;;;55037687525678773091862540744969844508330393682126
	;;;18336384825330154686196124348767681297534375946515
	;;;80386287592878490201521685554828717201219257766954
	;;;78182833757993103614740356856449095527097864797581
	;;;16726320100436897842553539920931837441497806860984
	;;;48403098129077791799088218795327364475675590848030
	;;;87086987551392711854517078544161852424320693150332
	;;;59959406895756536782107074926966537676326235447210
	;;;69793950679652694742597709739166693763042633987085
	;;;41052684708299085211399427365734116182760315001271
	;;;65378607361501080857009149939512557028198746004375
	;;;35829035317434717326932123578154982629742552737307
	;;;94953759765105305946966067683156574377167401875275
	;;;88902802571733229619176668713819931811048770190271
	;;;25267680276078003013678680992525463401061632866526
	;;;36270218540497705585629946580636237993140746255962
	;;;24074486908231174977792365466257246923322810917141
	;;;91430288197103288597806669760892938638285025333403
	;;;34413065578016127815921815005561868836468420090470
	;;;23053081172816430487623791969842487255036638784583
	;;;11487696932154902810424020138335124462181441773470
	;;;63783299490636259666498587618221225225512486764533
	;;;67720186971698544312419572409913959008952310058822
	;;;95548255300263520781532296796249481641953868218774
	;;;76085327132285723110424803456124867697064507995236
	;;;37774242535411291684276865538926205024910326572967
	;;;23701913275725675285653248258265463092207058596522
	;;;29798860272258331913126375147341994889534765745501
	;;;18495701454879288984856827726077713721403798879715
	;;;38298203783031473527721580348144513491373226651381
	;;;34829543829199918180278916522431027392251122869539
	;;;40957953066405232632538044100059654939159879593635
	;;;29746152185502371307642255121183693803580388584903
	;;;41698116222072977186158236678424689157993532961922
	;;;62467957194401269043877107275048102390895523597457
	;;;23189706772547915061505504953922979530901129967519
	;;;86188088225875314529584099251203829009407770775672
	;;;11306739708304724483816533873502340845647058077308
	;;;82959174767140363198008187129011875491310547126581
	;;;97623331044818386269515456334926366572897563400500
	;;;42846280183517070527831839425882145521227251250327
	;;;55121603546981200581762165212827652751691296897789
	;;;32238195734329339946437501907836945765883352399886
	;;;75506164965184775180738168837861091527357929701337
	;;;62177842752192623401942399639168044983993173312731
	;;;32924185707147349566916674687634660915035914677504
	;;;99518671430235219628894890102423325116913619626622
	;;;73267460800591547471830798392868535206946944540724
	;;;76841822524674417161514036427982273348055556214818
	;;;97142617910342598647204516893989422179826088076852
	;;;87783646182799346313767754307809363333018982642090
	;;;10848802521674670883215120185883543223812876952786
	;;;71329612474782464538636993009049310363619763878039
	;;;62184073572399794223406235393808339651327408011116
	;;;66627891981488087797941876876144230030984490851411
	;;;60661826293682836764744779239180335110989069790714
	;;;85786944089552990653640447425576083659976645795096
	;;;66024396409905389607120198219976047599490197230297
	;;;64913982680032973156037120041377903785566085089252
	;;;16730939319872750275468906903707539413042652315011
	;;;94809377245048795150954100921645863754710598436791
	;;;78639167021187492431995700641917969777599028300699
	;;;15368713711936614952811305876380278410754449733078
	;;;40789923115535562561142322423255033685442488917353
	;;;44889911501440648020369068063960672322193204149535
	;;;41503128880339536053299340368006977710650566631954
	;;;81234880673210146739058568557934581403627822703280
	;;;82616570773948327592232845941706525094512325230608
	;;;22918802058777319719839450180888072429661980811197
	;;;77158542502016545090413245809786882778948721859617
	;;;72107838435069186155435662884062257473692284509516
	;;;20849603980134001723930671666823555245252804609722
	;;;53503534226472524250874054075591789781264330331690
	(define (problem13 n)
	(let ((str "37107287533902102798797998220837590246510135740250
	46376937677490009712648124896970078050417018260538
	74324986199524741059474233309513058123726617309629
	91942213363574161572522430563301811072406154908250
	23067588207539346171171980310421047513778063246676
	89261670696623633820136378418383684178734361726757
	28112879812849979408065481931592621691275889832738
	44274228917432520321923589422876796487670272189318
	47451445736001306439091167216856844588711603153276
	70386486105843025439939619828917593665686757934951
	62176457141856560629502157223196586755079324193331
	64906352462741904929101432445813822663347944758178
	92575867718337217661963751590579239728245598838407
	58203565325359399008402633568948830189458628227828
	80181199384826282014278194139940567587151170094390
	35398664372827112653829987240784473053190104293586
	86515506006295864861532075273371959191420517255829
	71693888707715466499115593487603532921714970056938
	54370070576826684624621495650076471787294438377604
	53282654108756828443191190634694037855217779295145
	36123272525000296071075082563815656710885258350721
	45876576172410976447339110607218265236877223636045
	17423706905851860660448207621209813287860733969412
	81142660418086830619328460811191061556940512689692
	51934325451728388641918047049293215058642563049483
	62467221648435076201727918039944693004732956340691
	15732444386908125794514089057706229429197107928209
	55037687525678773091862540744969844508330393682126
	18336384825330154686196124348767681297534375946515
	80386287592878490201521685554828717201219257766954
	78182833757993103614740356856449095527097864797581
	16726320100436897842553539920931837441497806860984
	48403098129077791799088218795327364475675590848030
	87086987551392711854517078544161852424320693150332
	59959406895756536782107074926966537676326235447210
	69793950679652694742597709739166693763042633987085
	41052684708299085211399427365734116182760315001271
	65378607361501080857009149939512557028198746004375
	35829035317434717326932123578154982629742552737307
	94953759765105305946966067683156574377167401875275
	88902802571733229619176668713819931811048770190271
	25267680276078003013678680992525463401061632866526
	36270218540497705585629946580636237993140746255962
	24074486908231174977792365466257246923322810917141
	91430288197103288597806669760892938638285025333403
	34413065578016127815921815005561868836468420090470
	23053081172816430487623791969842487255036638784583
	11487696932154902810424020138335124462181441773470
	63783299490636259666498587618221225225512486764533
	67720186971698544312419572409913959008952310058822
	95548255300263520781532296796249481641953868218774
	76085327132285723110424803456124867697064507995236
	37774242535411291684276865538926205024910326572967
	23701913275725675285653248258265463092207058596522
	29798860272258331913126375147341994889534765745501
	18495701454879288984856827726077713721403798879715
	38298203783031473527721580348144513491373226651381
	34829543829199918180278916522431027392251122869539
	40957953066405232632538044100059654939159879593635
	29746152185502371307642255121183693803580388584903
	41698116222072977186158236678424689157993532961922
	62467957194401269043877107275048102390895523597457
	23189706772547915061505504953922979530901129967519
	86188088225875314529584099251203829009407770775672
	11306739708304724483816533873502340845647058077308
	82959174767140363198008187129011875491310547126581
	97623331044818386269515456334926366572897563400500
	42846280183517070527831839425882145521227251250327
	55121603546981200581762165212827652751691296897789
	32238195734329339946437501907836945765883352399886
	75506164965184775180738168837861091527357929701337
	62177842752192623401942399639168044983993173312731
	32924185707147349566916674687634660915035914677504
	99518671430235219628894890102423325116913619626622
	73267460800591547471830798392868535206946944540724
	76841822524674417161514036427982273348055556214818
	97142617910342598647204516893989422179826088076852
	87783646182799346313767754307809363333018982642090
	10848802521674670883215120185883543223812876952786
	71329612474782464538636993009049310363619763878039
	62184073572399794223406235393808339651327408011116
	66627891981488087797941876876144230030984490851411
	60661826293682836764744779239180335110989069790714
	85786944089552990653640447425576083659976645795096
	66024396409905389607120198219976047599490197230297
	64913982680032973156037120041377903785566085089252
	16730939319872750275468906903707539413042652315011
	94809377245048795150954100921645863754710598436791
	78639167021187492431995700641917969777599028300699
	15368713711936614952811305876380278410754449733078
	40789923115535562561142322423255033685442488917353
	44889911501440648020369068063960672322193204149535
	41503128880339536053299340368006977710650566631954
	81234880673210146739058568557934581403627822703280
	82616570773948327592232845941706525094512325230608
	22918802058777319719839450180888072429661980811197
	77158542502016545090413245809786882778948721859617
	72107838435069186155435662884062257473692284509516
	20849603980134001723930671666823555245252804609722
	53503534226472524250874054075591789781264330331690"))
	(string->number
	(substring
	(number->string
	(apply + (map string->number (string-tokenize str)))) 0 n))))
	(problem13 10)
	;;;正の整数に以下の式で繰り返し生成する数列を定義する.
	;;;
	;;; n → n/2 (n が偶数)
	;;;
	;;; n → 3n + 1 (n が奇数)
	;;;
	;;;13からはじめるとこの数列は以下のようになる.
	;;;13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1
	;;;
	;;;13から1まで10個の項になる. この数列はどのような数字からはじめても最終的には
	;;;1 になると考えられているが, まだそのことは証明されていない(コラッツ問題)
	;;;
	;;;さて, 100万未満の数字の中でどの数字からはじめれば最長の数列を生成するか.
	;;;
	;;;注意: 数列の途中で100万以上になってもよい
	(define (problem14 n)
	(define (gen x)
	(let loop ((acc `(,x)))
	(let ((n (car acc)))
	(if (= n 1)
	(reverse acc)
	(loop (cons (if (even? n)
	(/ n 2)
	(+ (* 3 n) 1)) acc))))))
	(let ((collatz
	(stream-map gen (stream-from 1))))
	(let ((len-zip
	(stream-zip (stream-map length collatz) (stream-from 1))))
	(cadr (stream-fold (lambda (x y)
	(if (> (car x) (car y))
	x
	y))
	'(0 0) (stream-take (- n 1) len-zip))))))
	(problem14 1000000)
	;;;2×2 のマス目の左上からスタートした場合, 引き返しなしで右下にいくルートは 6 つある.
	;;;p_15.gif
	;;;
	;;;では, 20×20 のマス目ではいくつのルートがあるか.
	(define (problem15 m n)
	(/ (factorial (+ m n)) (factorial m) (factorial n)))
	(problem15 20 20)

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Project Euler Problem 1 - 10

	#lang racket
	(require srfi/1 srfi/13 srfi/41 srfi/42 (only-in math/number-theory
	coprime?
	prime?
	factorize
	defactorize))
	;;;10未満の自然数のうち, 3 もしくは 5 の倍数になっているものは 3, 5, 6, 9 の
	;;;4つがあり, これらの合計は 23 になる.
	;;;
	;;;同じようにして, 1000 未満の 3 か 5 の倍数になっている数字の合計を求めよ.
	(define (problem1 n)
	(stream-fold + 0
	(stream-filter
	(lambda (x)
	(or (zero? (modulo x 3)) (zero? (modulo x 5))))
	(stream-range 1 n))))
	(problem1 1000)
	;;;フィボナッチ数列の項は前の2つの項の和である. 最初の2項を 1, 2 とすれば,
	;;;最初の10項は以下の通りである.
	;;;1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
	;;;
	;;;数列の項の値が400万以下の, 偶数値の項の総和を求めよ.
	;;;
	;;;Note:この問題は最近更新されました.
	;;;お使いのパラメータが正しいかどうか確認してください.
	(define (problem2 n)
	(define fib (stream-cons 1
	(stream-cons 2
	(stream-map + fib (stream-cdr fib)))))
	(stream-fold + 0
	(stream-filter even?
	(stream-take-while (lambda (x)
	(<= x n)) fib))))
	(problem2 40000)
	;;;13195 の素因数は 5, 7, 13, 29 である.
	;;;
	;;;600851475143 の素因数のうち最大のものを求めよ.
	(define (problem3 n)
	(let ((ls (map car (factorize n))))
	(apply max ls)))
	(problem3 600851475143)
	;;;左右どちらから読んでも同じ値になる数を回文数という.
	;;;2桁の数の積で表される回文数のうち, 最大のものは 9009 = 91 × 99 である.
	;;;
	;;;では, 3桁の数の積で表される回文数の最大値を求めよ.
	(define (problem4 n)
	(define (gen)
	(let ((k (expt 10 (- n 1))))
	(iota (* 9 k) k)))
	(define (parindrome? x)
	(let ((str (number->string x)))
	(string=? str (string-reverse str))))
	(let ((ls (gen)))
	(apply max (filter parindrome? (list-ec (: i ls) (: j ls) (* i j))))))
	(problem4 3)
	;;;2520 は 1 から 10 の数字の全ての整数で割り切れる数字であり,
	;;;そのような数字の中では最小の値である.
	;;;
	;;;では, 1 から 20 までの整数全てで割り切れる数字の中で最小の正の数はいくらになるか.
	(define (problem5 n)
	(let ((primes (stream-filter prime? (stream-from 2))))
	(let ((s (stream->list (stream-take-while (lambda (x)
	(< x (+ n 1))) primes))))
	(define (proc x)
	(let loop ((k 2))
	(if (> (expt x k) n)
	`(,x ,(- k 1))
	(loop (+ k 1)))))
	(defactorize (map proc s)))))
	(problem5 20)
	;;;最初の10個の自然数について, その二乗の和は,
	;;;12 + 22 + ... + 102 = 385
	;;;
	;;;最初の10個の自然数について, その和の二乗は,
	;;;(1 + 2 + ... + 10)2 = 3025
	;;;
	;;;これらの数の差は 3025 - 385 = 2640 となる.
	;;;
	;;;同様にして, 最初の100個の自然数について二乗の和と和の二乗の差を求めよ.
	(define (problem6 n)
	(let ((s (stream-from 1)))
	(let ((s1 (stream-fold + 0 (stream-map (lambda (x)
	(expt x 2))
	(stream-take n s))))
	(s2 (expt (stream-fold + 0 (stream-take n s)) 2)))
	(- s2 s1))))
	;;;素数を小さい方から6つ並べると 2, 3, 5, 7, 11, 13 であり, 6番目の素数は 13 である.
	;;;
	;;;10 001 番目の素数を求めよ.
	(define (problem7 n)
	(let ((primes (stream-filter prime? (stream-from 2))))
	(stream-ref primes (- n 1))))
	(problem7 10001)
	;;;次の1000桁の数字のうち, 隣接する4つの数字の総乗の中で,
	;;;最大となる値は, 9 × 9 × 8 × 9 = 5832である.
	;;;73167176531330624919225119674426574742355349194934
	;;;96983520312774506326239578318016984801869478851843
	;;;85861560789112949495459501737958331952853208805511
	;;;12540698747158523863050715693290963295227443043557
	;;;66896648950445244523161731856403098711121722383113
	;;;62229893423380308135336276614282806444486645238749
	;;;30358907296290491560440772390713810515859307960866
	;;;70172427121883998797908792274921901699720888093776
	;;;65727333001053367881220235421809751254540594752243
	;;;52584907711670556013604839586446706324415722155397
	;;;53697817977846174064955149290862569321978468622482
	;;;83972241375657056057490261407972968652414535100474
	;;;82166370484403199890008895243450658541227588666881
	;;;16427171479924442928230863465674813919123162824586
	;;;17866458359124566529476545682848912883142607690042
	;;;24219022671055626321111109370544217506941658960408
	;;;07198403850962455444362981230987879927244284909188
	;;;84580156166097919133875499200524063689912560717606
	;;;05886116467109405077541002256983155200055935729725
	;;;71636269561882670428252483600823257530420752963450
	;;;
	;;;この1000桁の数字から13個の連続する数字を取り出して,
	;;;それらの総乗を計算する. では、それら総乗のうち、最大となる値はいくらか.
	;;;
	;;;EX 6桁の数123789から5個の連続する数字を取り出す場合,
	;;;1*2*3*7*8と2*3*7*8*9の二通りとなり, 後者の2*3*7*8*9=3024が最大の総乗となる.
	(define (problem8 n)
	(let ((v (list->vector
	(map (lambda (x)
	(- (char->integer x)
	(char->integer #\0)))
	(filter (lambda (x)
	(not (char=? x #\newline)))
	(string->list
	"73167176531330624919225119674426574742355349194934
	96983520312774506326239578318016984801869478851843
	85861560789112949495459501737958331952853208805511
	12540698747158523863050715693290963295227443043557
	66896648950445244523161731856403098711121722383113
	62229893423380308135336276614282806444486645238749
	30358907296290491560440772390713810515859307960866
	70172427121883998797908792274921901699720888093776
	65727333001053367881220235421809751254540594752243
	52584907711670556013604839586446706324415722155397
	53697817977846174064955149290862569321978468622482
	83972241375657056057490261407972968652414535100474
	82166370484403199890008895243450658541227588666881
	16427171479924442928230863465674813919123162824586
	17866458359124566529476545682848912883142607690042
	24219022671055626321111109370544217506941658960408
	07198403850962455444362981230987879927244284909188
	84580156166097919133875499200524063689912560717606
	05886116467109405077541002256983155200055935729725
	71636269561882670428252483600823257530420752963450"))))))
	(let loop ((start 0) (end n) (acc 0))
	(if (> end (vector-length v))
	acc
	(let ((ls (vector->list (vector-copy v start end))))
	(loop (+ start 1) (+ end 1) (if (memv 0 ls)
	acc
	(max acc (apply * ls)))))))))
	(problem8 13)
	;;;ピタゴラス数(ピタゴラスの定理を満たす自然数)とは a < b < c で
	;;;以下の式を満たす数の組である.
	;;;a2 + b2 = c2
	;;;
	;;;例えば, 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52 である.
	;;;
	;;;a + b + c = 1000 となるピタゴラスの三つ組が一つだけ存在する.
	;;;これらの積 abc を計算しなさい.
	(define (problem9 x)
	(let ((pythagorean (stream-filter
	(lambda (x)
	(apply coprime? x)
	(odd? (apply - x)))
	(list->stream (list-ec (: m 2 x) (: n 1 m) `(,m ,n))))))
	(let loop ((k 0) (a 0) (b 0) (c 0))
	(if (= (+ a b c) x)
	(* a b c)
	(let-values (((m n) (apply values (stream-ref pythagorean k))))
	(loop (+ k 1) (* 2 m n)
	(- (expt m 2) (expt n 2))
	(+ (expt m 2) (expt n 2))))))))
	(problem9 1000)
	;;;10以下の素数の和は 2 + 3 + 5 + 7 = 17 である.
	;;;
	;;;200万以下の全ての素数の和を求めよ.
	(define (problem10 n)
	(let ((primes (stream-filter prime? (stream-from 2))))
	(let ((s (stream-take-while (lambda (x)
	(<= x n)) primes)))
	(stream-fold + 0 s))))
	(problem10 2000000)

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ノイマンの自然数の生成の話

もう一発小ネタです。

#数学の問題 #プログラミング
ノイマンの方法で非負整数を作る。
0 = {}
1 = {{}}
2 = {{},{{}}}
3 = {{},{{}},{{},{{}}}}
…
あなたの好きなプログラミング言語で作ってみよう！

— 結城浩 (@hyuki) May 17, 2016

これがなかなか手こずりました。
いや、アルゴリズムが、って意味じゃなくって計算速度がなかなか上がらんキッツい問題だな、と言う意味です。

さて、これは定義上は、見かけはビックリするんですが、実は実装的にはPythonのrange関数(あるいはSchemeのSRFI-1のiota)の再実装みたいなモンです。
つまり、入力nに対して何を返すのか、と言うと実は

1を入力 -> [0]を返す
2を入力 -> [0, 1]を返す
3を入力 -> [0, 1, 2]を返す

ってのと全く同じ事をしてるんですね。ただ、最初に0を[]と定義してるだけ、なんで仕組みは簡単なんです。
仮に、Schemeでこういう、ちょっとダウングレードなカンジのrangeなりiotaを実装するのは鼻クソでしょう。

	#lang racket
	(define (neumann n)
	(let loop ((n n) (acc '()))
	(if (zero? n)
	acc
	(let ((m (- n 1)))
	(loop m (cons m acc))))))

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ところが、です。
これが0を空リスト、と定義したらちと厄介な事になる。

	#lang racket
	(define (neumann n)
	(let loop ((n n) (zero '()))
	(if (zero? n)
	zero
	(let ((m (- n 1)))
	(loop m (cons zero zero))))))

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末尾再帰で書いてるんですが、問題に書かれてるn = 0〜3付近の数ならイイんですが、一方、nが10、20、30と増えていくと、計算がどんどん時間かかっていって、100辺りになると終わらないんですね〜。
ロジック的にはどっちも同じなのに計算時間が物凄くかかる、ってのは、後者は空リストのconsを生成してるだけなんだけど、それで膨大な、恐らくヒープを消費してニッチもサッチもいかなくなってくる、って事です。要するに巨大なガベージを生成してるに他なりません。

実は最初は、遅延評価で書けばどうなんだ、とか思って書いてたんですが、これもnが増大するととんでもない事になっていきます。

	#lang racket
	(require srfi/41)
	(define neumann
	(stream-cons '() (stream-map cons neumann neumann)))

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多分「定義のクールさ」って意味ではこの遅延評価版が一番カッコイイでしょう。見た目も綺麗ですし。マトモに定義通りに返してくれますし。

	> (stream-ref neumann 0)
	'()
	> (stream-ref neumann 1)
	'(())
	> (stream-ref neumann 2)
	'((()) ())
	> (stream-ref neumann 3)
	'(((()) ()) (()) ())
	>

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ところがさすがの遅延評価版でもnが100とかなると計算が終わりません。やはりどっかで大量のconsを扱うのが大変になるんですね〜。

さて、だったらメモ化はどうだ、って話になるんですが。
通常の高階関数のメモ化を利用して・・・ってのはこの場合は上手くないんです。
基本的に、n = 100を計算する時、n = 100の答えがあったらそいつをハッシュから持ってくる、ってのがメモ化の極意なんですが、生憎、フツーに実装したら今回のような「n = 100の状態を計算する為にはn = 99が必要」のケースだと上手く計算を省略してくれないんですよね。
理想的には再帰的にnを探ってくウチに得た値を利用して計算を行う、と言うちょっとした手動的な最適化が施されてないと、結局毎回新たな値を与える度にn=0まで到達してしまう。
今回のノイマンのモデルだと、どっちにせよnは順番に並んでますし、例えばn = 10を何の情報も無い状態で計算した際にn = 0〜10までのハッシュを全部記録して、n=11の計算の際にn=10「だけ」利用すれば11がすぐ得られる、と言う最適化を施しておいた方が良いわけです。
また、n=11まで計算した後で、n=15を計算するとn=12〜14までの情報は無いわけですが、ハッシュを手繰っていって、n=11の値が見つかった際にそこから計算をスタートしてn=12〜14までをハッシュに埋めつつn=15を返す、ってカタチにしておけば、0まで戻る無駄は省けるわけです。

	#lang racket
	(require srfi/69)
	(define neumann
	(let ((table (make-hash-table eqv?)))
	(hash-table-set! table 0 '())
	(lambda (n)
	(define (get key)
	(let ((val (hash-table-ref/default table key #f)))
	(if val
	key
	(get (- key 1)))))
	(define (put key)
	(if (= key n)
	(hash-table-ref table n)
	(let ((val (hash-table-ref table key)))
	(let ((key (+ key 1)))
	(hash-table-set! table key (cons val val))
	(put key)))))
	(put (get n)))))

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今回はSRFI-69のハッシュテーブルを利用しています。
ローカル関数のgetはnが与えられた時、nに対応するvalueがハッシュ内にあるかどうか検索します。nが見つからなかった時にはn-1を検索、それでも見つからない場合は・・・と小さいキーを順次検索していって、valueが見つかった時、そのキーを返します。
ローカル関数putは逆に、あるキーからnに向けて計算した数値を逐次ハッシュに記録していって、キーがnと同じになった時にvalueを返して脱出します。
この2つのローカル関数で、ノイマンの定義を最適化するように試みてるんですが・・・・・・。
それでもやっぱn=100とかだと計算時間かかりすぎて、っつーかやっぱどうもヒープ食いつぶして上手い具合にいかないですねぇ。
ハッキリ言って、この問題は、「計算スピードの省略」じゃどうにもならなくって、どっちかっつーとメモリ容量との戦いの模様です。
なかなかconsは手強いですよ。

ズンドコキヨシ with Python

小ネタです。

Javaの講義、試験が「自作関数を作り記述しなさい」って問題だったから
「ズン」「ドコ」のいずれかをランダムで出力し続けて「ズン」「ズン」「ズン」「ズン」「ドコ」の配列が出たら「キ・ヨ・シ！」って出力した後終了って関数作ったら満点で単位貰ってた

— てくも (@kumiromilk) March 9, 2016

クソ、面白いネタなんだけど、知らんかった(笑)。
何せ、3月初頭までパソコン壊れてたんで、知る機会が無かったんですよねぇ。残念。

さて、ちと問題を読み替えてみます。
単純に確率$p=0.5$で出る「ドコ」を成功、「ズン」を失敗として捉えると「ズンズンズンズンドコ」と言う文字列が出現する確率は

失敗×失敗×失敗×失敗×成功 = 0.5×0.5×0.5×0.5×0.5 = 3.125%

になります。そしてこの文字列が出現した「後」に「キ・ヨ・シ!」を繋げてやれば良い。
なお、問題の要請としては、例えば一回「失敗」が多い

ズンズンズンズンズンドコ

の後でも「キ・ヨ・シ!」が出ても良い模様です。
つまり、この場合、文字列が要素「ズン」と「ドコ」の複合体と見た場合、5つ以上の長さの場合「キ・ヨ・シ!」を繋げる、そうじゃない場合はそのまま出力する、と言う問題として読み替える事が出来るのです。
ちなみに、こういう「失敗を何度か続けた後に成功する」と言う確率分布モデルがあって、それを幾何分布と言います。

$\mathrm{Pr}\left( k\right) :=p\,{\left( 1−p\right) }^{k−1}$

そうすると、要素数自体がこの幾何分布に従う確率変数となって、これで一気に文字列を生成する事が可能となります。

上の写真で言うと、Number of Failures until Success(成功するまでの失敗の数)が4以上の時に「キ・ヨ・シ!」を出力してそれより小さい場合は「キ・ヨ・シ!」を出力しなければ題意が満たせます。
さて、このロジックでプログラムを実装しますが、使用する言語はPython(2.7)、あとは幾何分布に従う確率変数を用いる為、Numpyを利用します。

	import numpy as np
	def zundoko():
	zun, doko, kiyoshi = "ズン\n", "ドコ\n", "キ・ヨ・シ!"
	def prob():
	k = np.random.geometric(p = 0.5)
	if k < 5:
	return zun * (k - 1) + doko
	else:
	return zun * (k - 1) + doko + kiyoshi
	while True:
	yield prob()

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一応、マイブームなんで、問題の要件とは若干違いますが、ジェネレータで実装しています(笑)。
次のようにして遊びます。

	>>> z = zundoko()
	>>> print z.next()
	ズン
	ドコ
	>>> print z.next()
	ズン
	ドコ
	>>> print z.next()
	ドコ
	>>> print z.next()
	ズン
	ドコ
	>>> print z.next()
	ズン
	ズン
	ドコ
	>>> print z.next()
	ズン
	ズン
	ドコ
	>>> print z.next()
	ドコ
	>>> print z.next()
	ズン
	ドコ
	>>> print z.next()
	ドコ
	>>> print z.next()
	ドコ
	>>> print z.next()
	ズン
	ズン
	ズン
	ズン
	ドコ
	キ・ヨ・シ!
	>>>

view raw zundoko_run.py hosted with ❤ by GitHub

これがなかなか、目的の文字列が出ないんですよね(笑)。
ちなみに、フツーに実装しようが、今回みたいに幾何分布を利用して実装しようが結果は(理論的には)変わりません。
基本的に「ズンズンズンズンドコ キ・ヨ・シ!」が成立する確率は計算上、これ以上に「ズン」の部分が長い文字列の場合と合わせて、実は6.25％しかなく、反面、「ズン」の連続が4回に満たない文字列の出現確率は93.75％もあります。
つまり、このジェネレータを回しても10回に1回は出ない、って事なんですね。